倾斜支持度分布的影响

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2024-06-04

本节讨论一种重要性质，该性质对关联分析算法的性能和提取模式的质量具有重要影响。我们将关注具有倾斜支持度分布的数据集，其中大多数项具有较低或中等频率，但是少数项具有很高的频率。

如下图所示， $p$ 是具有 83.8% 的高支持度的项，而 $q$ 和 $r$ 则是具有 16.7% 的低支持度的项。尽管 $q$ 和 $r$ 的支持度不高，但是二者显现出非常强的相关性。一个模式挖掘算法应当能发现 $\{q,r\}$ 是有趣的。

但是很显然为项集 $\{q,r\}$ 选择一个合适的支持度是非常困难的，如果阈值太高（如 20%），则可能遗漏涉及类似 $\{q,r\}$ 这种支持度较低的模式。如果支持度阈值设置太低，则会使得模式挖掘过程变得过于复杂。

提示

特别地，可能会提取大量的高频项（如 $p$ ）和低频率项（如 $q$ ）相关联的虚假模式，这样的模式就是所谓的 交叉支持模式（cross-support）。

这是由于 $p$ 和 $q$ 之间的关联性大部分都是受 $p$ 项的频率发生而不是 $p$ 和 $q$ 共同出现的影响。由于 $\{p,q\}$ 的支持度和 $\{q,r\}$ 的支持度非常接近，当为了挖掘 $\{q,r\}$ 而将支持度设置较低时，很自然地 $\{p,q\}$ 也会被选择出来。

交叉支持模式

交叉支持模式是一个项集 $X=\{i_1,i_2,\dots, i_k\}$ ，它的支持度比率

\tag{6.1} r(X)=\frac{min\left[ s(i_1), s(i_2), \dots, s(i_k) \right]}{max\left[ s(i_1), s(i_2), \dots, s(i_k) \right]}

小于用户指定的阈值 $h_c$ 。

很遗憾的是现有的度量都不足以消除交叉支持模式。不过这不代表我们什么都做不了。

虽然 $\{p\}\rightarrow \{q\}$ 的置信度非常低，但是 $\{r\}\rightarrow \{q\}$ 的置信度很高。通过这一观察，可以通过从给定项集提取出的最低置信度规则来检测交叉支持模式。使用下面的方法可以找到最低置信度规则：

前面章节中提到的置信度的反单调性：
$\tag{6.2} conf(\{i_1i_2\}\rightarrow \{i_3,i_4,\dots, i_k\}) \le conf(\{i_1i_2i_3\}\rightarrow \{i_4,\dots, i_k\})$
该性质表明，把关联规则左边的项不断一道右边之后不会增加规则的置信度。根据这个性质可以知道，一个频繁项集中置信度最低的规则是左边仅包含一个项的规则，我们用 $R_1$ 表示。
规定一个频繁项集 $\{i_1,i_2,\dots,i_k\}$ ，如果 $s(i_j)=max\left[ s(i_1), s(i_2), \dots, s(i_k) \right]$ ，则规则：
$\tag{6.3} \{i_j\}\rightarrow \{i_1,i_2,\dots, i_{j-1},i_{j+1}, \dots,i_k\}$
是 $R_1$ 中具有最小置信度的规则。
所以，可以从频繁项集 $\{i_1,i_2,\dots,i_k\}$ 中得到的最低置信度为：
$\tag{6.4} \frac{ s(\{i_1,i_2,\dots,i_k\})}{max\left[ s(i_1), s(i_2), \dots, s(i_k) \right]}$
该表达式也被称为 **h 置信度（h-confidence）**或 全置信度（all-confidence）。由于支持度的单调性，所以我们又能知道：
$\tag{6.5} h\text{-}confidence(X)\le \frac{min\left[ s(i_1), s(i_2), \dots, s(i_k) \right]}{max\left[ s(i_1), s(i_2), \dots, s(i_k) \right]}$
我们可以看到公式(6.5) 和公式（6.1）是一样的。

那么 h-confidence 是如何帮助我们消除交叉支持模式的呢？由于交叉支持模式的支持度比率总是小于 $h_c$ ，所以这类模式的 h-confidence 也一定小于 $h_c$ 。所以，通过确保模式的 h-confidece 大于 $h_c$ 即可消除交叉支持模式。最后值得一提的是：使用 h-confidence 的好处不仅仅是能消除交叉支持模式，这种度量也是反单调的，即：

\tag{6.6} h\text{-}confidece(\{i_1,i_2,\dots,i_k\})\ge h\text{-}confidece(\{i_1,i_2,\dots,i_{k+1}\})

从而可以将其并入挖掘算法。此外，h-confidence 可以确保项集中的项之间是强关联的。例如，假定一个项集 $X$ 的 h-confidence 是 80%。如果 $X$ 的一个项出现在某事务中，则 $X$ 中其他的项至少有 80% 的概率属于同一个事务。这种强关联模式又被称为 超团模式（hyperclique pattern）。